在刚刚结束的2023年新高考1卷,数学第21题,考到了一道概率题。涉及省份一共有8个,分别为广东、福建、江苏、河北、山东、湖南、湖北和浙江。
21.甲乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换 为对方投篮。无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选,第一次投篮的人是甲,乙的概率各为0.5。
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E[Σ(1≤i≤n)Xi]=Σ(1≤i≤n)qi,记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y)。
这道题的第(1)问非常简单,纯粹就是送分。
第一次投篮的人是甲,乙的概率各为0.5=1/2。
如果第一次投篮的人是甲,甲每次投篮的命中率均为0.6=3/5,则甲每次投篮未命中的概率均为1-3/5=2/5,若甲第一次投篮未命中,则第二次换为乙投篮;
如果第一次投篮的人是乙,乙每次投篮的命中率均为0.8=4/5,则乙每次投篮未命中的概率均为1-4/5=1/5,若乙第一次投篮命中,则第二次继续为乙投篮。
(1)解:第2次投篮的人是乙的概率为:
P=(1/2)×(2/5)+(1/2)×(4/5)
=2/10+4/10=6/10=3/5
P=3/5
第(2)问就稍微有些难了,第i次投篮的人是谁,是由上一次即第i-1次投篮的人和结果决定的。
第i-1次投篮的人是甲,若甲投篮命中,则第i次继续为甲投篮;
第i-1次投篮的人是乙,若乙投篮未命中,则第i次换为甲投篮。
(1)解:记ai为第i次投篮的人是甲的概率,则第i次投篮的人是乙的概率为1-ai,所以
ai=(3/5)a(i-1)+(1/5)[1-a(i-1)]
=(3/5)a(i-1)+1/5-(1/5)a(i-1)
=(2/5)a(i-1)+1/5
ai=(2/5)a(i-1)+1/5
我们可以将ai看成一个数列的通项,接下来的问题转化为求出这个数列的通项公式。
a1=1/2
ai=(2/5)a(i-1)+1/5
ai+x=(2/5)a(i-1)+(1/5+x)
=(2/5)[a(i-1)+(1/2+5x/2)]
令x=1/2+5x/2
2x=1+5x,3x=-1
x=1/2+5x/2=-1/3
ai-1/3=(2/5)[a(i-1)-1/3]
令bi=ai-1/3,则
bi=(2/5)b(i-1)
bi/b(i-1)=2/5
b1=a1-1/3=1/2-1/3=1/6
b1=1/6
数列{bi}是一个首项b1=1/6,公比q=2/5的等比数列
bi=b1q^(i-1)=(1/6)(2/5)^(i-1)
bi=(1/6)(2/5)^(i-1)
bi=ai-1/3
ai=bi+1/3
=(1/6)(2/5)^(i-1)+1/3
ai=(1/6)(2/5)^(i-1)+1/3
实际上,这个问题本质上就是一个马尔科夫链。简单理解马尔科夫链,就是说下一次的选择只受上一次的结果以及对应的转移概率影响,与再之前的选择无关。
马尔科夫链的核心三要素为:
1.状态空间(States Space)
2.无记忆性(Memorylessness)
3.转移矩阵(Transition Matrix)
最后,我们再来看第(3)问,这一问当然就是拉差距的问题了,解决这个问题的关键在于理解题意。
随机变量Xi服从两点分布,这里的Xi代表第i次是否为甲投篮。如果是甲投篮,则Xi=1;如果不是甲投篮,则Xi=0。
第i次是甲投篮的概率为qi,所以有
P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi=ai
i=1,2,…,n
ai=(1/6)(2/5)^(i-1)+1/3
记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,则
Y=X1+X2+…+Xn=Σ(1≤i≤n)Xi
E[Σ(1≤i≤n)Xi]=Σ(1≤i≤n)qi
(3)解:E(Y)=E[Σ(1≤i≤n)Xi]
=Σ(1≤i≤n)qi=Σ(1≤i≤n)ai
=a1+a2+…+an
=(1/6+1/3)+[(1/6)(2/5)+1/3]
+…+[(1/6)(2/5)^(n-1)+1/3]
=[1+2/5+…+(2/5)^(n-1)]/6+n/3
=(1/6)[1-(2/5)^n]/(1-2/5)+n/3
=(5/18)[1-(2/5)^n]+n/3
=n/3+5/18-(1/9)(2/5)^(n-1)
E(Y)=n/3+5/18-(1/9)(2/5)^(n-1)
本文到此讲解完毕了,希望对大家有帮助。